Come dimostrare che 1 è uguale a 2

Supponiamo che $a$ e $b$, siano due numeri uguali tra loro e diversi da zero. Partendo dal fatto che $a=b$, vogliamo arrivare alla conclusione che $1=2$ e di conseguenza, qui di seguito, ne enunciamo la “dimostrazione”. Partiamo.
La nostra ipotesi è:
\[
a=b
\]
Possiamo moltiplicare entrambi i membri per una stessa quantità, scegliamo $b$, quindi:
\[
ab = bb
\]
che possiamo scrivere sostituendo il prodotto $bb$ con $b^2$:
\[
ab = b^2
\]
ora sottraiamo da entrambi i membri $a^2$:
\[
ab – a^2 = b^2 – a^2
\]
grazie a note uguaglianze algebriche si deduce che:
\[
a(b-a) = (b+a)(b-a)
\]
ora possiamo cancellare da entrambi i membri $(b-a)$:
\[
a = b+a
\]
dato che $a$ e $b$ sono uguali, sostituisco $b$ con $a$:
\[
a = a+a
\]
siccome $a+a$ è uguale a $2a$:
\[
a = 2a
\]
quindi:
\[
1 = 2
\]
Come volevasi dimostrare.

Prima che mi arrivi l’insulto è doveroso precisare che naturalmente, $1$ e $2$ non sono uguali. Basta la nostra esperienza quotidiana per concludere che il processo logico della dimostrazione deve avere qualcosa di sbagliato, anche se la dimostrazione, in apparenza è ineccepibile. Infatti, nel procedimento c’è un errore grossolano. Nel passaggio logico in cui abbiamo cancellato in entrambi i membri $(b-a)$, in realtà abbiamo eseguito una divisione per la quantità $(b-a)$. Ma, se nella nostra premessa abbiamo ipotizzato che $a$ e $b$ fossero due numeri uguali, ne consegue che $(b-a)$ sia zero. Non possiamo dividere uno oppure entrambi i membri per zero. Anzi, ancor prima di effettuare la divisione per zero avevamo già un membro a zero, quello in cui compare $a(b-a)$, portando l’espressione alla corretta uguaglianza di $0=0$ !
In questo caso l’esperienza ci ha fatto respingere il risultato. Nel caso in cui una affermazione non sia così evidentemente sbagliata, può essere difficile scoprire dove si trova l’errore logico che ci porta ad avvalorare conclusioni sbagliate. In matematica sicuramente è più facile scoprire affermazioni sbagliate e respingere conclusioni non logicamente corrette. Nella realtà non sempre si può essere sicuri di essere arrivati a conclusioni corrette solo perché è stato usato un ragionamento “logico”. Ma quella del saper riconoscere una affermazione “manipolatoria” che nasconde una logica formalmente corretta ma sostanzialmente sbagliata è un’altra storia!